2009年陕西师大附中第二次高考模拟数学试题

2009年陕西师大附中第二次高考模拟数学试题

一.选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）

1.(理)复数 的值是

A.              B.               C.              D.

（文） 的值是

A. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m               B.                C.                 D.

2.已知集合 ， ，则集合 =

A.{ } w.w.w.k.s.5 u.c.o.m                B.{ }               C.{ }            D.{ }

3.若 ,下列命题中正确的是

A.若 , 则                        B.若 , 则

C.若 , 则 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m                      D.若 , 则     

4.已知函数 的反函数是 ，则 是

A.奇函数且在 上单调递减                B.偶函数且在 上单调递增

C.奇函数且在 上单调递减                D.偶函数且在 上单调递增

5.已知实数 、 满足约束条件 ,则 的最大值

A.24 w.w.w.k.s.5 u.c.o.m             B.20             C.16  　          D.12

6.设向量 ，向量 ，则 与 的夹角是

A.              B.            C.           D.

7.若半径是 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是

A.                 B.                C.           D.

O

8.若函数 ( )的部分图象如图所示，则有

A.          B.  

C.          D.  

9.定义在 上的偶函数 对于任意的 都有 ，且 ，则 的值为

A.                B.                C.                D.

10.过双曲线 的右焦点作直线交 于 两点，若 ，则这样的直线有

A.1条             B.2条              C.3条             D.4条

11.在圆 内，过点 有 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 ，最长的弦长为 ，其中公差 ，那么 的集合是    

A.                  B.                   C.             D.

12. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高．有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的 的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)：

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

现给出一个变换公式：

  将明文转换成密文，如 ，即 变成 ； ，即 变成 ．按上述规定，若将明文译成的密文是 ，则原来的明文是

A.             B.                     C.                             D.

二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.在 的展开式中， 的系数是15，则实数 ___________.

14.（理）已知 ，则 ___________.

（文）函数 的单调递减区间是___________.

15.编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有___________种.

16.公比为 的等比数列 中，若 是数列 的前 项积，则有 也成等比数列，且公比为 ；类比上述结论，相应地在公差为 的等差数列 中，若 是 的前 项和，则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为__________ ；

三.解答题（本大题共6小题，共76分）

17.（本小题满分12分）

已知 （ 为常数）.

（1）求 的单调递增区间；

（2）若 在 上的最大值与最小值之和为3，求 的值.

18.（本小题满分12分）

在举办的奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是 ，甲、丙两人都回答错的概率是 ，乙、丙两人都回答对的概率是 .

（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率.

（2）（理）求回答对这道题目的人数的随机变量 的分布列和期望.

A

B

C

D

F

A1

B1

C1

（文）求甲、乙、丙三人中至少有两人回答对这道题目的概率.

19.（本小题满分12分）

在三棱柱 中， ， ，

 ， 是 的中点，F是 上一点，且 .

(1) 求证： ；

(2) 求平面 与平面 所成角的正弦值.

20．（本小题满分12分）

（理）在 平面上有一系列的点 ，对于正整数 ，点 位于函数 的图象上，以点 为圆心的⊙ 与 轴都相切，且⊙ 与⊙ 又彼此外切，若 ，且

（1） 求证：数列 是等差数列；

(2) 设⊙ 的面积为 ， ，求证：

（文） 在等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ，

（1）求数列 的通项公式；

（2）记 且 ，求数列 的前 项和 。

21. （本小题满分12分）

（理）已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的左、右顶点分别是 的左、右焦点。

（1）求双曲线 的方程；

（2）若直线 与双曲线 恒有两个不同的交点 和 ，且 ，其中 为原点，求 的范围。

A

B

C

P

O

F

y

x

(文)椭圆 的离心率 ， 是椭圆上关于 轴均不对称的两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点

（1）设 的中点为 ，求 的值；

（2）若 是椭圆的右焦点，且 ，求椭圆的方程。

22．(本题满分14分)

（理）已知 ，函数 。设 ，记曲线 在点 处的切线为

  (1) 求 的方程；

  (2) 设 与 轴交点为 ，求证：① ； ② 若 ，则

（文）设函数 ，已知 是奇函数。

（1）求 、 的值

（2）求 的单调区间与极值。

 

 

2009年陕西师大附中第二次高考模拟试题

数     学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页。满分150分。考试时间120分钟。

题号	一	二	三						总分
			（17）	（18）	（19）	（20）	（21）	（22）
得分

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一.选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.(理)复数 的值是B

A.              B.               C.              D.

（文） 的值是A

A.                B.                C.                 D.

2.已知集合 ， ，则集合 =C

A.{ }                B.{ }               C.{ }            D.{ }

3.若 ,下列命题中正确的是B

A.若 , 则                        B.若 , 则

C.若 , 则                      D.若 , 则     

4.已知函数 的反函数是 ，则 是D

A.奇函数且在 上单调递减                B.偶函数且在 上单调递增

C.奇函数且在 上单调递减                D.偶函数且在 上单调递增

5.已知实数 、 满足约束条件 ,则 的最大值为 B      

A.24             B.20             C.16  　          D.12

6.设向量 ，向量 ，则 与 的夹角是C

A.              B.            C.           D.

7.若半径是 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是B

A.                 B.                C.           D.

8.若函数 ( )的部分图象如图所示，则有 C

O

A.          B.  

C.          D.  

9.定义在 上的偶函数 对于任意的 都有 ，且 ，则 的值为A

A.                B.                C.                D.

10.过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 两点，若 ，则这样的直线 有 C

A.1条             B.2条              C.3条             D.4条

11.在圆 内，过点 有 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 ，最长的弦长为 ，其中公差 ，那么 的集合是     D

A.                    B.                   C.             D.

12. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高．有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的 的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)：

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

现给出一个变换公式：

  将明文转换成密文，如 ，即 变成 ； ，即 变成 ．按上述规定，若将明文译成的密文是 ，则原来的明文是B

A.             B.                     C.                             D.

第Ⅱ卷（共60分）

二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.在 的展开式中， 的系数是15，则实数 ___________.

14.（理）已知 ，则 ___________.1

（文）函数 的单调递减区间是___________.

15.编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有___________种.20

16.公比为 的等比数列 中，若 是数列 的前 项积，则有 也成等比数列，且公比为 ；类比上述结论，相应地在公差为 的等差数列 中，若 是 的前 项和，则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为__________ ；300；

三.解答题（本大题共6小题，共76分）

17.（本小题满分12分）

已知 （ 为常数）.

（1）求 的单调递增区间；

（2）若 在 上的最大值与最小值之和为3，求 的值.

解：（1）

，即 ，

∴  的单调递增区间是 ………………… 6分

（2） ，

则 ， ∴  . ………………… 12分

18.（本小题满分12分）

在举办的奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是 ，甲、丙两人都回答错的概率是 ，乙、丙两人都回答对的概率是 .

（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率.

（2）（理）求回答对这道题目的人数的随机变量 的分布列和期望.

（文）求甲、乙、丙三人中至少有两人回答对这道题目的概率.

解：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是 ，根据题意，得

   解得 ， ；………………… 6分

（2）（理） 可能取值0，1，2，3，

；            ；

；  .

分布列如下：

	0	1	2	3

期望为 .………………… 12分

（文） ………………………… 12分

19.（本小题满分12分）

在三棱柱 中， ， ，

 ， 是 的中点，F是 上一点，且 .

A

B

C

D

F

A1

B1

C1

(1) 求证： ；

(2) 求平面 与平面 所成角的正弦值.

解：（1）因为 , 是 的中点，所以 .

又 ，所以  

又 ，所以                                   

在 中  ，在 中  

所以 ，

  即 ，所以 。……… 6分

（2）延长 交于 ，则 为所求二面角的棱.由 ≌ 得： 。

过 作 ，且 与 交于 ，又 ， ，

为所求二面角的平面角.                                       

由 和 相似得： 。又 ，所以 。

即所求二面角的正弦值是 . ……………………………… 12分

20．（本小题满分12分）

（理）在 平面上有一系列的点 ，对于正整数 ，点 位于函数 的图象上，以点 为圆心的⊙ 与 轴都相切，且⊙ 与⊙ 又彼此外切，若 ，且 。

(1)   求证：数列 是等差数列；

(2) 设⊙ 的面积为 ， ，求证：

解(1) 证明：依题知得： ，整理，得

又  所以   即  ，

故数列 是等差数列。……………………………………………… 6分

(2) 由(1)得   即 ( )，又 ，

所以

=

= ，

故 …………………………………………………………… 12分

（文） 在等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ，

（1）求数列 的通项公式；

（2）记 且 ，求数列 的前 项和 。

解（1）设等差数列 的公差为 ,由 得： ，所以 ，即 ，所以 .…………………… 6分

（2）由 ，得 。所以 ，

当 时， ，

，即 … …12分

21. （本小题满分12分）

（理）已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的左、右顶点分别是 的左、右焦点。

（1）求双曲线 的方程；

（2）若直线 与双曲线 恒有两个不同的交点 和 ，且 ，其中 为原点，求 的范围。

解：(1) 椭圆 的焦点 、 ，左右顶点 、 。设双曲线 的方程为 ，则 ， ， 故 的方程为 。…… 6分

(2)  联立方程组   消 得：

由直线 与双曲线 交于不同的两点得：

即   于是 ，且     ………………①

设 、 ，则

又 ，所以 ，解得      ……………②   

由①和②得    即 或

故 的取值范围为 。……………… ……………………12分

A

B

C

P

O

F

y

x

(文)椭圆 的离心率 ， 是椭圆上关于 轴均不对称的两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点

（1）设 的中点为 ，求 的值；

（2）若 是椭圆的右焦点，且 ，求椭圆的方程。

解（1）设 ， ，代入椭圆方程 得 ， ，两式相减整理得： ，由于 ， ；由 得 ，则 ，即 ，

所以 …………………………………………… 6分

（2）

由于 ，那么 ，那么 ，所以 ， ，

故椭圆方程是 …………………………………………… 12分

22．(本题满分14分)

（理）已知 ，函数 。设 ，记曲线 在点 处的切线为

  (1) 求 的方程；

  (2) 设 与 轴交点为 ，求证：① ； ② 若 ，则

解： (1) 依题知，得： ， 的方程为 ，

 即直线 的方程是 ………………… 6分

(2)  证明：由(1)得

①由于  ，所以 ，

又 ,所以

②因为  ，且 ，所以 ，即 。

又 ，所以

故当 时，有 ………………… 14分

（文）设函数 ，已知 是奇函数。

（1）求 、 的值。

（2）求 的单调区间与极值。

证明（1）∵ ，∴ 。从而 ＝ 是一个奇函数，所以 得 ，即 是奇函数，那么 ；………………… 6分

（2）由（Ⅰ）知 ，由 得 ，由此可知，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m

和 是 是单调递增区间； 是 是单调递减区间；

在 时，取得极大值，极大值为 ， 在 时，取得极小值，极小值为 。…………………… 14分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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